函数列f,g 在(a,b)上一致收敛,fg在(a,b)非一致收敛的反例

derek_li 1年前已收到1个回答举报

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要点是需要一个无界的函数
比如Riemann函数的伪倒数：
x是无理数时f(x)=0
x是有理数p/q时f(p/q)=q,其中p,q互质,q>0
g(x)可以随意一点,比如g(x)=x^2
序列取成f_n(x)=f(x)+1/n,g_n(x)=g(x)+1/n,
那么f_n(x)g_n(x)=f(x)g(x)+(f(x)+g(x))/n+1/n^2
由于f(x)+g(x)在任何非退化区间上都无界,由定义即可否定一致收敛性

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