三角形ABC中.向量m=(2cosB,1),向量n（2COSˆ2(π∕4+B∕2）,-1+sin2B),且满足
三角形ABC中.向量m=(2cosB,1),向量n（2COSˆ2(π∕4+B∕2）,-1+sin2B),且满足︳m+n︳=︳m-n︳
1,求角B的大小 2,求sinA的平方+sinC的平方的取值范围
1,求角B的大小 2,求sinA的平方+sinC的平方的取值范围
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第一个问题：
∵｜向量m＋向量n｜＝｜向量m－向量n｜,
∴｜向量m｜^2＋2向量m·向量n＋｜向量n｜^2＝｜向量m｜^2－2向量m·向量n＋｜向量n｜^2,
∴向量m·向量n＝0.
∵向量m＝（2cosB,1）、向量n＝（2［cos（π/4＋B/2）］^2,－1＋sin2B）,
∴4cosB［cos（π/4＋B/2）］^2－1＋sin2B＝0,
∴2cosB［1＋cos（π/2＋B）］－1＋sin2B＝0,
∴2cosB－2cosBsinB－1＋2cosBsinB＝0,∴2cosB－1＝0,∴cosB＝1/2,∴B＝60°.
第二个问题：
（sinA）^2＋（sinC）^2
＝（1/2）（1－cos2A）＋（1/2）（1－cos2C）＝1－（1/2）（cos2A＋cos2C）
＝1－cos（A＋C）cos（A－C）＝1－cos（180°－B）cos（A－C）
＝1＋cosBcos（A－C）＝1＋（1/2）cos（A－C）.
∵B＝60°,∴0°＜A＜120°、0°＜C＜120°,∴－120°＜A－C＜120°,
∴－1/2＜cos（A－C）≦1,∴－1/4＜（1/2）cos（A－C）≦1/2,
∴3/4＜1＋（1/2）cos（A－C）≦3/2.
∴［（sinA）^2＋（sinC）^2］的取值范围是（3/4,3/2］.
∵｜向量m＋向量n｜＝｜向量m－向量n｜,
∴｜向量m｜^2＋2向量m·向量n＋｜向量n｜^2＝｜向量m｜^2－2向量m·向量n＋｜向量n｜^2,
∴向量m·向量n＝0.
∵向量m＝（2cosB,1）、向量n＝（2［cos（π/4＋B/2）］^2,－1＋sin2B）,
∴4cosB［cos（π/4＋B/2）］^2－1＋sin2B＝0,
∴2cosB［1＋cos（π/2＋B）］－1＋sin2B＝0,
∴2cosB－2cosBsinB－1＋2cosBsinB＝0,∴2cosB－1＝0,∴cosB＝1/2,∴B＝60°.
第二个问题：
（sinA）^2＋（sinC）^2
＝（1/2）（1－cos2A）＋（1/2）（1－cos2C）＝1－（1/2）（cos2A＋cos2C）
＝1－cos（A＋C）cos（A－C）＝1－cos（180°－B）cos（A－C）
＝1＋cosBcos（A－C）＝1＋（1/2）cos（A－C）.
∵B＝60°,∴0°＜A＜120°、0°＜C＜120°,∴－120°＜A－C＜120°,
∴－1/2＜cos（A－C）≦1,∴－1/4＜（1/2）cos（A－C）≦1/2,
∴3/4＜1＋（1/2）cos（A－C）≦3/2.
∴［（sinA）^2＋（sinC）^2］的取值范围是（3/4,3/2］.
1年前
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