高等数学函数的连续和导数问题设函数f(x)=(m为自然数)试问：（1）m等于何值时,f（x）在x=0连续

题设说m为自然数
1°f(x)→f(0)=0,x→0,∴m为任意自然数均可,[无穷小(x^m)乘以有界量(sin(1/x))仍为无穷小,所以极限值恒为0（x→0时）]
2°f(x)要想在x=0处可导,即[f(x)-f(0)]/[x-0]极限存在,[f(x)-f(0)]/[x-0]=x^(m-1) *sin(1/x)要想极限存在,也得符合无穷小×有界量,x^(m-1)要为无穷小,m-1>0,即m>1,m为自然数【,且f ' (0)=0】.
3°x≠0时,f ' (x)=mx^(m-1) *sin(1/x) - x^(m-2) *cos(1/x)
由2°,f ' (0)=0,∴要使f ' (x)在x=0连续,f ’ (x)→f '(0)=0,x→0,极限要满足无穷小×有界量,
∴m-1>0且m-2>0,得到m>2,m为自然数.