dajietou
花朵
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你们都没有说到点子上去,首先无穷小是一个变量,它的含义是比小给的任意数都要小,这点很重要,无穷大的含义类似,是比你给的任意数都要大.
做指数的极限题目时最好是这样做:求lim(x趋向于无穷或0)f(x)^g(x)=e^g(x)*lng(x).
所以lim(n趋向正无穷)(1+1/n)^n =lime^n*ln(1+1/n),因为limn*ln(1+1/n)=1,所以所求极限为e(这就是楼上们都说的不用证明的,事实上这样就已经证明了)同样的,lim(n趋向正无穷)(1+n)^(1/n)=e^(1/n)*ln(1+n),lim(1/n)*ln(1+n)可以用罗比达法则求出极限为0,所以所求极限为1,第三题稍微难一点lim(n趋向正无穷)(n!)^(1/n)=e^1/n*(ln1+ln2+……lnn)而lim1/n*(ln1+ln2+……lnn)=lim1/n*(ln1/n+ln2/n+……lnn/n+nlnn)=∫(上限为1,下限为0)lnxdx(这是个反常积分,不过是收敛的)+lnn=-1+lnn,所以lim(n趋向正无穷)(n!)^(1/n)=limn*e^(-1)=∞.
二楼的还行,三楼说的虽然多,不过没有说到点子上.关于什么时候可以舍去无穷小,什么时候不可以?再求lim(n趋向无穷或零)f(n)=?时记住它的含义是求n趋向无穷或零时,f(n)趋向于多少?所以只有f(n)中的单独无穷小量才会在nn趋向无穷或零时趋向于零,或者说是在这个无穷小量周围只有加减,没有乘除,没有幂,他才一定是无穷小量.当然这个无穷小量也可以是包括幂运算的整体.
lim(n趋向正无穷)(1+n)^(1/n)=1不是因为lim(1+n)^(1/n)=lim(1+n)^0=1~而是因为lim(n趋向正无穷)(1+n)^(1/n)=e^(1/n)*ln(1+n),lim(1/n)*ln(1+n)可以用罗比达法则求出极限为0,所以所求极限为1
这样你总明白了吧.
1年前
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