求二重积分∫∫Dy[1+xe12(x2+y2)]dxdy的值，其中D是由直线y=x，y=-1及x=1围成的平面区域．

根据题意，作出积分区域D，如图所示．

∫∫
Dy[1+xe
1
2(x2+y2)]dxdy=
∫∫
Dydxdy+
∫∫
Dyxe
1
2(x2+y2)dxdy
其中：

∫∫
Dydxdy=
∫1−1ydy
∫1ydx
=
∫1−1y（1-y）dy
=
∫1−1（y-y²）dy=
=(
y2
2−
y3
3)
|1−1
=−
2
3；

∫∫
Dyxe
1
2(x2+y2)dxdy=
∫1−1ydy
∫1yxe
1
2(x2+y2)dx
=
∫1−1ydy
∫1ye
1
2(x2+y2)d[1/2(x2+y2)
=
∫1−1]ye
1
2(x2+y2)
|1ydy
=
∫1−1y[e
1
2(1+y2)-ey2]dy
∵y[e
1
2(1+y2)-ey2]为奇函数，其积分区间关于零点对称，故函数积分为0；即

∫1−1y[e
1
2(1+y2)-ey2]dy=0；
∴
∫∫
Dyxe
1
2(x2+y2)dxdy=
∫1−1y[e
1
2(1+y2)-ey2]dy=0；
∴
∫∫
Dy[1+xe
1
2(x2+y2)]dxdy=
∫∫
Dydxdy+
∫∫
Dyxe
1
2(x2+y2)dxdy
=−
2
3+0=−
2
3；
故本题答案为：−
2
3．

点评：
本题考点： 二重积分的综合应用．

考点点评： 本题主要考察二重积分的计算．本题思路比较简单，先得到积分区域形状，再根据形状划分积分．计算二重积分一般都采用这样的步骤进行．