函数f（x）=[ax+bx2+1是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f（1/2]）=[2/5]．

（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
即[−ax+b
x2+1=-
ax+b
x2+1，-ax+b=-ax-b，
∴b=0，（或直接利用f（0）=0，解得b=0）．
∴f（x）=
ax
x2+1，
∵f（
1/2]）=[2/5]，
∴

1
2a

1
4+1＝
2
5解得a=1，
∴f（x）=[x
x2+1
（2）f（x）在（-1，1）上是增函数．
证明如下：任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=
x1
x12+1−
x2
x22+1=
(x1−x2)(1−x1x2)
(x12+1)(x22+1)
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴-1＜x₁x₂＜1，x₁-x₂0，x12+1＞0，x22+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是增函数．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查了函数的解析式、函数的奇偶性的应用、函数的单调性的证明，函数单调性的证明要注意作差后化简到能直接判断符号为止．

1年前

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