如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，A1A的中点．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，A1A的中点．（Ⅰ）判定D，C1，E，F是否在同一平面上？若在同一平面上，请加以证明，若不在同一平面上，请说明理由；
（Ⅱ）已知正方体的棱长为2，沿平面EFD1截去三棱锥A1-EFD1；
（i）求余下几何体的体积；
（ii）求余下几何体的表面积．
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解题思路：（Ⅰ）证明EF∥DC1，可得D，C1，E，F四点在同一个平面上；
（Ⅱ）（i）求出三棱锥A1-EFD1的体积，即可求余下几何体的体积；
（ii）求出△D1EF的面积，即可求余下几何体的表面积．
（Ⅱ）（i）求出三棱锥A1-EFD1的体积，即可求余下几何体的体积；
（ii）求出△D1EF的面积，即可求余下几何体的表面积．
（I）答：D，C1，E，F四点在同一个平面上…（1分）
证明：连结AB1，由E，F分别为棱A1B1，A1A的中点，所以EF∥AB1，
又由正方体知AB1∥DC1，
由平行公理得EF∥DC1，因此，D，C1，E，F四点在同一个平面上…（4分）
（II）（i）由三棱锥A1-EFD1的体积V1＝
1
3(
1
2×1×1)×2＝
1
3…（6分）
所以，余下几何体的体积V=V正方体-V1=23−
1
3＝
23
3…（8分）
（ii）依题意可得D1F＝D1E＝
5，在△D1EF中，过D1作D1H垂直于EF，垂足为H，则D1H＝
5−
1
2＝
3
2
2，所以△D1EF的面积S△D1EF＝
1
2×
2×
3
2
2＝
3
2…（10分）
余下几何体的表面积S=.3×22+(3×22−1−1−
1
2)+
点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；平面的基本性质及推论．
考点点评： 本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
1年前
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