椭圆焦点到椭圆的最短距离 用函数最小值计算

解设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,其右焦点为（c,0）,
其椭圆上的任一点为（x,y）（-a≤x≤a）
则椭圆上的任一点到焦点的距离的平方为
y=（x-c）^2+（y-0）^2
=x^2-2cx+c^2+y^2
=x^2-2cx+c^2+（b^2-b^2x/a^2）
=（1-b^2/a^2）x^2-2cx+b^2+c^2
=（（a^2-b^2）/a^2）x^2-2cx+a^2
=（c^2）/a^2x^2-2cx+a^2
该函数的对称轴x=-b/2a=-（-2c）/2[（c^2）/a^2]=a^2/c
由a＞c,故a^2/c＞a
由函数的定义域为[-a,a]
又由函数为二次函数,开口向上,
故函数在[-a,a]时,是减函数
当x=a时函数有最小值为y=（c^2）/a^2×a^2-2ca+a^2=c^2-2ac+a^2=(a-c）^2
即椭圆焦点到椭圆的最短距离为√(a-c）^2=a-c.