已知A、B、C、D四点共圆,C、D、E、F四点共圆,A、B、E、F四点共圆

郭敦顒回答：
若A、B、C、D四点共圆,C、D、E、F四点共圆,A、B、E、F四点共圆
在A、B、C、D四点共圆中,若直线AB与CD不相交则AB∥CD,在C、D、E、F四点共圆中,若EF与CD不平行,则EF与CD相交,
连EC交AB或其延长线于K,连FD交AB或其延长线于P,则
∠EKP=∠ECD,∠FPK=∠FDC,∴ K、P、E、F四点共圆,
而K异于A,P异于B,∵AB、CD、EF它们的中点不共线（若共线则CD∥EF）,
既然K、P、E、F四点共圆,那么A、B、E、F四点不共圆,这与题设条件矛盾,
∴当AB∥CD时,EF与CD不平行是不可能的,于是EF∥CD
∴AB∥CD∥EF.
在A、B、E、F四点共圆中,AB与EF相交于P,则CD与EF不平行,在C、D、E、F四点共圆中,CD与EF也相交于P,
A、B、C、D四点共圆的圆心为O,C、D、E、F四点共圆的圆心为Q,连OQ,则
OQ⊥CD中点KB,取AB中点M,EF中点N,连MO、NQ并延长相交于R,则R是A、B、E、F四点共圆的圆心,那么
P、R、M、N四点共圆,这是在AB与EF相交于P,CD与EF也相交于P的情况下得出的结论,否则,不可能.所以,AB与EF相交于P,CD与EF也相交于P.
上述证明似乎不尽完美,容再思考.

此命题可以转换为:两两相交的三个圆,三条公共弦互相平行或相交于一点.(题目中应说明是三个不同的圆才严谨.否则命题并不在立)
证:设ABCD所在圆的方程为f(x,y)=0. (这里的f(x,y)并不表示函数,只表示一个含有的x和y表达式.)
CDEF所在圆的方程为g(x,y)=0
ABEF所在圆的方程为h(x,y)=0
两个圆的方程相减,就是公共弦的直线方程.