如图，直线l过点P（4，1），交x轴、y轴正半轴于A、B两点；

（1）由题意设所求直线方程为[x/a+
y
b＝1，（a＞0，b＞0）
则A（a，0），B（0，b）
∵直线l过点P（4，1），∴
4
a+
1
b＝1，
由基本不等式可得1=
4
a+
1
b]≥2

4
a•
1
b，
变形可得ab≥16，当且仅当[4/a＝
1
b]即a=8，b=2时取等号
∴△AOB面积S=[1/2]ab≥[1/2]×16=8，
∴△AOB面积的最小值为8，此时直线l的方程为[x/8+
y
2＝1，即x+4y-8=0
（2）直线l₁：y=kx+3k+3可化为y-3=k（x+3），
由点斜式可知直线过定点D（-3，3），
n+2
m+1]表示线段DP上的点与Q（-1，-2）连线的斜率，
由又可得DQ的斜率为
3−(−2)
−3−(−1)=−
5
2，PQ的斜率为[−2−1/−1−4]=[3/5]
数形结合可得[n+2/m+1]的取值范围为[[3/5]，+∞）∪（-∞，−
5
2]；
（3）由（1）可得

PA=（a-4，-1），

点评：
本题考点： 平面向量数量积的运算；直线的斜率．

考点点评： 本题考查平面向量数量积的运算，涉及直线的斜率与基本不等式，以及数形结合的思想，属中档题．

1年前

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