若直线 过双曲线 的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.

若直线 过双曲线 的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若过点 与 轴不平行的直线与双曲线相交于不同的两点 的垂直平分线为 ，求直线 在 轴上截距的取值范围.
（Ⅰ） .（Ⅱ）直线 在 轴上的截距的取值范围为


试题分析：（Ⅰ）由 得 ， ，且 ，解得 故双曲线的方程为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，依题意可设过点 的直线为 由 得 ， ， ，且 设 的中点 ，则 ， 故直线 的方程为 ，即 所以直线 在 轴上的截距 ，由 ，且 得 ，所以 .即直线 在 轴上的截距的取值范围为
点评：中档题，结合双曲线的几何性质，应用“待定系数法”求得了双曲线标准方程。研究直线与圆锥曲线的位置关系，往往应用韦达定理，通过“整体代换”，简化解题过程，实现解题目的。（II）中根据方程组有解，确定得到直线斜率范围，易于忽视。