（2012•陕西）设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）

（1）由于n≥2，b=1，c=-1，f_n（x）=xⁿ+bx+c=xⁿ+x-1，∴f_n（[1/2]）f_n（1）=（[1
2n-
1/2]）×1＜0，
∴f_n（x）在区间(
1
2，1)内存在零点．再由f_n（x）在区间(
1
2，1)内单调递增，可得f_n（x）在区间(
1
2，1)内存在唯一的零点．
（2）当n=2，函数f₂（x）=x²+bx+c，对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，
故函数f₂（x）在[-1，1]上的最大值与最小值的差M≤4．
当|
b
2|＞1时，即b＞2或 b＜-2时，M=|f₂（-1）-f₂（1）|=2|b|＞4，这与题设相矛盾．
当-1≤-[b/2]＜0时，即0＜b≤2时，M=f₂（1）-f2(−
b
2)=(
b
2+1)2≤4 恒成立．
当0≤-[b/2]≤1 时，即-2≤b≤0时，M=f₂（-1）-f2(−
b
2)=(
b
2−1)2≤4 恒成立．
综上可得，-2≤b≤2．
（3）证法一：在（1）的条件下，x_n是f_n（x）=xⁿ+x-1在(
1
2，1)内的唯一零点，则有f_n（x_n）=xnn+x_n-1=0，
f_n+1（x_n+1）=xn+1n+1+x_n+1-1=0．
当x_n+1∈(
1
2，1)时，f_n（x_n）=0=f_n+1（x_n+1）=xn+1n+1+x_n+1-1＜xn+1n+x_n+1-1=f_n（x_n+1）．
由（1）知，f_n（x）在区间(
1
2，1)内单调递增，故有x_n＜x_n+1，故数列x₂，x₃，…，x_n⋯单调递增数列．
证法二：设x_n是f_n（x）=xⁿ+x-1在(
1
2，1)内的唯一零点，
f_n+1（x_n） f_n+1（1）=（

点评：
本题考点： 数列与函数的综合；根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，树立与函数的综合，体现了分类讨论、化归与转化的数学思想，
属于难题．

1年前

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