已知函数f（x）满足对任意实数a，b，有f（[a+2b/3]）=f(a)+2f(b)3，且f（1）=1，f（4）=7，则

解题思路：由条件令a=4，b=1，得f（2）=3，令a=1，b=4，得f（3）=5，猜想：f（n）=2n-1（n∈N*）．再由数学归纳法证明，即可求出f（2014）的值．

∵函数f（x）满足对任意实数a，b，有f（[a+2b/3]）=
f(a)+2f(b)
3，
∴由f（1）=1，f（4）=7，
令a=4，b=1，得f（2）=
f(4)+2f(1)
3=3，
令a=1，b=4，得f（3）=
f(1)+2f(4)
3=5，
猜想：f（n）=2n-1（n∈N^*）．①
证明：当n=1，2，3，4时①成立．
假设n≤k（k＞4且k为整数），①都成立．
令a=k-2，b=k+1，得f（k）=
f(k−2)+2f(k+1)
3，
∴f（k+1）=
3f(k)−f(k−2)
2=
3(2k−1)−2(k−2)+1
2
=2（k+1）-1，
即对n=k+1．f（k+1）=2（k+1）-1成立．
∴对任意正整数n，f（n）=2n-1（n∈N^*）都成立．
∴f（2014）=2×2014-1=4027．
故答案为：4027．

点评：
本题考点： 函数的值．

考点点评： 本题考查抽象函数及运用，考查赋值法的运用，同时考查运用数学归纳法证明与n有关的命题，属于中档题．