设函数f(x)＝log1−mxx−1a为奇函数，g（x）=f（x）+loga（x-1）（ax+1）（ a＞1，

解题思路：（1）根据函数f（x）为奇函数可知f（x）=-f（-x），把f（x）的解析式代入即可求得m．
（2）由（1）可得f（x）的解析式，进而根据g（x）=f（x）+log_a^{（x-1）（ax+1）}可得g（x）的解析式，根据对数的真数需大于0，进而可得x的范围．
（3）根据g（x）在[−

5

2

，−

3

2

]上恒成立，对于g（x）的解析式只需（x+1）（ax+1）＞1，进而根据x的范围求得a的范围．

（1）f(x)是奇函数，f(x)＝−f(−x)＝−loga
1+mx
−x−1＝loga
−x−1
1+mx
∴[1−mx/x−1＝
−x−1
1+mx，x2−1＝(mx)2−1
∴（m²-1）x²=0，又m≠1
∴m=-1；
（2）由(1)f(x)＝loga
x+1
x−1，g(x)＝loga
x+1
x−1+loga[(x−1)(ax+1)]
x必须满足

(x−1)(ax+)＞0
(x+1)(x−1)＞0]
∴x＜−1或x＞1(a＞1，−
1
a＞−1)
∴g（x）的定义域为{x：x＜-1或x＞1}
（3）∵a＞1，g（x）在[−
5
2，−
3
2]上恒正，
即（x+1）（ax+1）＞1
∴ax+1＜
1
x+1∴ax＜−
x
x+1∴a＞−
1
x+1
∵x∈[−
5
2，−
3
2]∴−
1
x+1≤−
1
(−
3
2)+1＝2∴a＞2
∴a的取值范围是（2，+∞）．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质；函数的定义域及其求法；函数恒成立问题；对数的运算性质．

考点点评： 本题主要考查了函数奇偶性的应用．函数的奇偶性，单调性，定义域和值域都是考试常考的内容．