一个自然数N共有9个约数，而N-1恰有8个约数，满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？

解题思路：因为9=3×3=9×1，所以可以把N看做只有一个质因数或两个质因数，进一步从最小的质因数考虑，逐步探讨得出答案即可．

根据约数个数公式可知：
①当N=aⁿ，即N只有一个质因数时，
n+1=9，所以n=8，
这样最小的N=2⁸=256，
N-1=255=3×5×17，
恰好有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个约数，符合题意；
②当N=aⁿ×b^m，即N有两个质因数时，
（n+1）（m+1）=9，
所以n=m=2，
这样最小的N=2²×3²=36，N-1=35=5×7有（1+1）×（1+1）=4个约数，不符合题意；
第二小的N=2²×5²=50，N-1=49=7×7有（1+1）×（1+1）=4个约数，不符合题意；
第三小的N=2²×7²=196，N-1=195=3×5×13有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个约数，符合题意；
综上所述，最小的N是196，第二小的是256．

点评：
本题考点： 约数个数与约数和定理．

考点点评： 此题主要利用约数个数的计算方法：一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数（次数）加1后所得的乘积．

一个自然数N共有9个约数，说明这个数是完全平方数，而N-1恰有8个约数，故以试探得出该数最小为16＾2＝256，有9个约数，而255＝3*5*17刚好有8个约数，故最小的是255和256

自然数N共有9个约数,而N-1恰有8个约数，
猜N=p1^2*p2^2,N-1=(p1p2+1)(p1p2-1)
试：p1=2,p2=3,N=36,N-1=5*7(舍）；
p1=2,p2=5,N-1=3^2*11(舍);
p1=2,p2=7,N=196,N-1=13*3*5；
p1=3,p2=5,N-1=7*2^5(舍）；
p1=3,p2=7,N-1...

第二个回答和第三个回答结合才是正确答案。
最小的两个196、256：
①
196的约数9个：1、2、4、7、14、28、49、98、196
195的约数8个：1、3、5、13、15、39、65、195
②
256的约数9个：1、2、4、8、16、32、64、128、256
255的约数8个：1、3、5、15、17、51、85、255...

求因数的个数有算术基本定理,详见参考资料