已知双曲线的焦点在x轴上，且过点A（1，0）和B（-1，0），P是双曲线上异于A、B的任一点，如果△APB的垂心H总在双

已知双曲线的焦点在x轴上，且过点A（1，0）和B（-1，0），P是双曲线上异于A、B的任一点，如果△APB的垂心H总在双曲线上，求双曲线的标准方程．

沉醉天崖不知归路 1年前已收到1个回答举报

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解题思路：首先由题意设出双曲线的标准方程，再由A、B两点的坐标可得a=1，然后根据△APB的垂心H总在双曲线上，则由双曲线的对称性可得点P、H关于x轴对称，那么直线PB与直线HA必然互相垂直，因此设出点P的坐标（m，n），进而列出方程组，最后消去参数m、n可解得b，则双曲线方程解决．

依题意设双曲线的标准方程为
x2
a2−
y2
b2＝1，
因为a=1，所以双曲线的标准方程为x2−
y2
b2＝1．
又△APB的垂心H总在双曲线上，所以点P、H关于x轴对称，
设点P的坐标为（m，n），则点H的坐标为（m，-n），
所以

m2 −
n2
b2＝1

n
m+1•
−n
m−1＝−1 ，解得b=1，
故双曲线的标准方程为x²-y²=1．

点评：
本题考点：双曲线的标准方程．

考点点评：本题考查双曲线的标准方程与性质，同时考查三角形垂心的概念、直线垂直的性质及解方程组的能力．

1年前

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