证明:若A,B均为三阶实对称矩阵,对一切X有X^TAX=X^TBX,则A=B

令X=(1,0,0)'
则X'AX=(a11,a12,a13)(1,0,0)'=a11
X'BX=b11
=>a11=b11
同理,令X=(0,1,0)‘得a22=b22；
令X=(0,0,1)’的a33=b33
令X=(1,1,0)‘得
X'AX=(a11+a21,a12+a22,a13+a23)(1,1,0)'=a11+a12+a21+a22
X'BX=b11+b12+b21+b22
=>a12+a21=b12+b21
由于aij=aji,bij=bji,故a12=a21=b12=b21
同理令X=(1,0,1)’,(0,1,1)‘可得a13=a31=b13=b31;a23=a32=b23=b32
综上可知,A=B