已知函数f（x）=x 2 +（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）．

（Ⅰ）设f（x）=g（x）+h（x）----①，其中g（x）是奇函数，h（x）是偶函数，
则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=-g（x）+h（x），----②
联解①、②，可得g（x）=
1
2 [f（x）-f（-x）]=（a+1）x
h（x）=
1
2 [f（x）+f（-x）]=x ² +lg|a+2|…（4分）
（Ⅱ）∵函数f（x）=（x+
a+1
2 ） ² -
1
4 （a+1） ² +lg|a+2|在区间[（a+1） ² ，+∞）上是增函数．
∴（a+1） ² ≥-
a+1
2 ，解之得a≥-1或a≤-
3
2 且a≠-2．…（6分）
又∵函数g（x）=（a+1）x是减函数，得a+1＜0，
∴a＜-1且a≠-2．…（8分）
因此，命题P为真的条件是：a≥-1或a≤-
3
2 且a≠-2；命题Q为真的条件是a＜-1且a≠-2．
∴命题P、Q有且仅有一个是真命题时，a＞-
3
2 …（10分）
（Ⅲ）f（1）=1 ² +（a+1）•1+lg|a+2|，即f（1）=（a+2）+lg|a+2|，
∵a＞-
3
2 ，∴f（1）=a+2+lg（a+2），
∵t=a+2+lg（a+2），t是关于a的单调增函数
∴f（1）≥-
3
2 +2+lg（-
3
2 +2）=
1
2 +lg
1
2 ＞
1
2 +lg
1

3 10
=
1
2 -
1
3 =
1
6
即f（1）＞
1
6 成立，故f（1）要大于
1
6 ．…（14分）