（2009•潍坊二模）已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），其中a、b∈R

（I）当a=0，b=3时，f（x）=x³-3x²
∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2，令f′（x）＜0，可得0＜x＜2
∴x=0时，函数取得极大值为0，x=2时，函数取得极小值为-4；
（Ⅱ）当a=0时，
f(x)
x2-lnx=x-b-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴b≤x-lnx在[1，+∞）上恒成立
令g（x）=x-lnx，则g′(x)＝
x−1
x
∵x＞1，∴g′(x)＝
x−1
x＞0
∴g（x）在[1，+∞）上是增函数
∴g（x）_min=g（1）=1
∴b≤1；
（Ⅲ）由题意，

OA•

OB＝0，∴st+f（s）f（t）=0
∴st+st（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=0①
∴f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab
∵s，t是f′（x）=0的两根
∴s+t=
2(a+b)
3，st=[ab/3]＞0
∴①可化为（[1/3a2−
ab
3]）（[1/3b2−
ab
3]）=-1
∴ab（a-b）²=9
∴(a−b)2＝
9
ab
∴(a−b)2＝
9
ab
∴(a+b)2＝(a−b)2+4ab＝
9
ab+4ab≥12
当且仅当[9/ab＝4ab，即ab=
3
2]时取“=”
∴a+b的取值范围是[2
3，+∞）．

点评：
本题考点： 根据实际问题选择函数类型；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．