已知函数f(x)＝13x3−bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．

解题思路：（I）先求导函数，然后根据x=2是f（x）的一个极值点建立等式关系，求出b，然后解不等式f′（x）＞0即可求出函数的单调增区间；
（II）先利用导数求出函数f（x）在区间[1，3]上的最小值，若当x∈[1，3]时，要使f(x)−a2＞

2

3

恒成立，只需f(x) min＞a2+

2

3

，即可求出a的范围．

（Ⅰ）f′（x）=x²-2bx+2．--------------------------------------------------------------（1分）
∵x=2是f（x）的一个极值点，
∴x=2是方程x²-2bx+2=0的一个根，解得b＝
3
2．---------------------------（3分）
令f′（x）＞0，则x²-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2．---------------------------（5分）
∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．--------------------------（6分）
（Ⅱ）∵当x∈（1，2）时f′（x）＜0，x∈（2，3）时f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，f（x）在（2，3）上单调递增．--------（8分）
∴f（2）是f（x）在区间[1，3]上的最小值，且 f(2)＝
2
3+a．--------------（10分）
若当x∈[1，3]时，要使f(x)−a2＞
2
3恒成立，只需f(2)＞a2+
2
3，----（12分）
即[2/3+a＞a2+
2
3]，解得 0＜a＜1．----------------------------------------------------（13分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查了函数的极值，单调性和在闭区间上的最值，同时考查了恒成立问题，属于中档题．

1、f'(x)=x²-2bx+2
x=2时
x²-2bx+2=0
得到b=3/2
f'(x)=x²-3x+2
f'(x)>0时
x<1,x>2
f(x)的单调递增区间（-无穷，1]U[2,无穷）
2、x属于[1,3]
x=2时，f(x)最小
只要x=2时f(x)-a^2>2/3成立即可
f(x)-a^2-2/3=a-a²>0
得到a属于（0,1）