"蝴蝶定理"的证明

已知圆O,PQ是一条弦,设M为弦PQ的中点,过M作弦AB和CD.
设AD和BC各相交PQ于点X和Y,则M是XY的中点.

证明:过圆心O作AD与BC垂线,垂足为S、T,连接OX,OY,OM,SM,MT.
∵△AMD∽△CMB,且SD=1/2ADBT=1/2BC, 　　
∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B 　　
∴△MSD∽△MTB,∠MSD=∠MTB 　　
∴∠MSX=∠MTY；
又∵O,S,X,M与O,T.Y.M均是四点共圆, 　
∴∠XOM=∠YOM 　　
∵OM⊥PQ
∴XM=YM