证明级数收敛的一个必要条件是,n趋于无穷时,其通项趋于0.

把调和级数看成一个数列,数列通项是调和级数前n项和
数列收敛的充要条件是:柯西判别法(什么名字记不清楚了)
对于调和级数的这个数列,满足
∀ε>0 ,存在n>0,∀m>n,有 1/n + 1/(n+1)+ ……+1/m < ε
就叫做满足柯西判别法
现在 存在ε=0.1,∀n>0
对于这个任意取得n,存在m=2n
使得1/n + 1/(n+1)+ ……+1/m=1/n + 1/(n+1)+ ……+1/2n>(1/2n)*(n+1)>(1/2n)*n=0.5 > ε
所以不满足柯西判别法
所以调和级数不收敛
对于别的级数,比如1+ 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 +……+ 1/n^2
∀ε>0 存在n=(1/ε)+1 ∀m>n
有1/n^2 + 1/(n+1)^2+ ……+1/m^2
< 1/n*(n-1) + 1/n*(n+1) + ……+ 1/m*(m-1)
=1/(n-1)- 1/n + 1/n -1/(n+1)+……+1/(m-1) - 1/m
=1/(n-1)-1/m

调和级数
悬赏分：50 - 离问题结束还有 14 天 20 小时
证明级数收敛的一个必要条件是，n趋于无穷时，其通项趋于0。
调和级数满足这个条件。
但是调和级数是发散的。
那么它跟其他收敛的级数有什么本质的区别呢？
本质。
它和很多收敛级数的区别在于:
当n→+∞时,调和级数的后项除以前项即A[n]/A[n-1]→1.

这个好像没有本质不本质的问题，只是形式上不一样了，你有条件的话可以参考高等数学第五版同济大学应用数学系主编的P191有详细的解析。

你也说了，这是一个必要条件，所以调和级数虽然满足这个条件不收敛也是很正常的。
收敛和发散在本质上可以用柯西收敛准则来解释，
也就是说，虽然通项趋于0，可是无论n是多少
都可以找到之后的接连的m项，使得这m项的和
大于任意一个正数。
这也就是级数收敛与否的判别标准...

如果 A 满足，则有 B 成立。
A 是 B 的充分条件，B 是 A的必要条件。
注意：n趋于无穷时，其通项趋于0，是级数收敛的一个必要非充分的条件。
必要条件的特点是：如果不满足“n趋于无穷时，其通项趋于0”，则级数一定不收敛，即发散；但是如果满足条件，无法说明级数是否收敛。
充分条件的特点是：只要满足，一定会有某种结论。...

是充分条件吧，若级数收敛，则n趋于无穷时，其通项趋于0
但是反过来不一定成立，就是说当n趋于无穷时，其通项趋于0，级数也可能是发散的。反例就是你说的调和级数