如图,已知直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB 1 .

见解析

【证明】如图,以C ₁ 点为原点,C ₁ A ₁ ,C ₁ B ₁ ,C ₁ C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

设AC=BC=BB ₁ =2,
则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A ₁ (2,0,0),B ₁ (0,2,0),
C ₁ (0,0,0),D(1,1,2).
(1)由于 =(0,-2,-2),
=(-2,2,-2),
所以 · =0-4+4=0,
因此 ⊥ ,
故BC ₁ ⊥AB ₁ .
(2)取A ₁ C的中点E,连接DE,由于E(1,0,1),
所以 =(0,1,1).
又 =(0,-2,-2),
所以 =- .
又ED和BC ₁ 不共线,所以ED∥BC ₁ .
又DE⊂平面CA ₁ D,BC ₁ ⊄平面CA ₁ D,
故BC ₁ ∥平面CA ₁ D.