一道高中数学必修5的正余弦定理证明题
一道高中数学必修5的正余弦定理证明题
在△ABC中,已知a(b·cosB-c·cosC)=(b^2-c^2)cosA,判断△ABC的形状
在△ABC中,已知a(b·cosB-c·cosC)=(b^2-c^2)cosA,判断△ABC的形状
赞 黄棋子 幼苗
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cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc,cosB=(a^2+c^2-b^2)2ac,cosC=(a^2+b^2-c^2)2ab
代入上式,得：
(a^2+c^2-b^2)*b/2c-(a^2+b^2-c^2)*c/2b=(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)/2bc
(a^2b^2+b^2c^2-b^4-a^2c^2-b^2c^2+c^4)/2bc=(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)/2bc
(a^2+b^2+c^2)(b^2-c^2)/2bc=(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)/2bc
当b^2-c^2≠0时,得：
a^2+b^2+c^2=b^2+c^2-a^2
∴a^2=-a^2
a=0排除
所以b^2-c^2=0,即b=c,∴△ABC是等腰三角形
代入上式,得：
(a^2+c^2-b^2)*b/2c-(a^2+b^2-c^2)*c/2b=(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)/2bc
(a^2b^2+b^2c^2-b^4-a^2c^2-b^2c^2+c^4)/2bc=(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)/2bc
(a^2+b^2+c^2)(b^2-c^2)/2bc=(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)/2bc
当b^2-c^2≠0时,得：
a^2+b^2+c^2=b^2+c^2-a^2
∴a^2=-a^2
a=0排除
所以b^2-c^2=0,即b=c,∴△ABC是等腰三角形
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