甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮； 已知每次投篮甲、乙命中的
甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮； 已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为
（1）在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求Eξ； （2）若第n次由甲投篮的概率为a n ，求a n 与a n-1 的关系式，并求
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（1）由题意，ξ的取值为0，1，2，则 P(ξ=0)=
1
2 ×
1
2 =
1
4 ，P(ξ=1)=
1
2 ×
1
2 +
1
2 ×
1
3 =
5
12 ，P(ξ=2)=
1
2 ×
2
3 =
1
3
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
1
4
5
12
1
3 ∴ Eξ=0×
1
4 +1×
5
12 +2×
1
3 =
13
12
（2）由已知可得 a n = a n-1 •
1
2 +(1- a n-1 )•
1
3 (n∈ N * ，n≥2)
∴ a n =
1
6 a n-1 +
1
3 ，
∴
lim
n→∞ a n =
lim
n→∞ (
1
6 a n-1 +
1
3 ) =
1
6
lim
n→∞ a n +
1
3
∴
lim
n→∞ a n =
2
5
1
2 ×
1
2 =
1
4 ，P(ξ=1)=
1
2 ×
1
2 +
1
2 ×
1
3 =
5
12 ，P(ξ=2)=
1
2 ×
2
3 =
1
3
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
1
4
5
12
1
3 ∴ Eξ=0×
1
4 +1×
5
12 +2×
1
3 =
13
12
（2）由已知可得 a n = a n-1 •
1
2 +(1- a n-1 )•
1
3 (n∈ N * ，n≥2)
∴ a n =
1
6 a n-1 +
1
3 ，
∴
lim
n→∞ a n =
lim
n→∞ (
1
6 a n-1 +
1
3 ) =
1
6
lim
n→∞ a n +
1
3
∴
lim
n→∞ a n =
2
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