正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，

正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．

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解题思路：（1）要证三角形ABM和MCN相似，就需找出两组对应相等的角，已知了这两个三角形中一组对应角为直角，而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角，因此这两个角也相等，据此可得出两三角形相似．
（2）已知这两个三角形中相等的对应角是∠ABM和∠AMN，如果要想使Rt△ABM∽Rt△AMN，那么两组直角边就应该对应成比例，即 [AM/MN＝

BM]根据（1）的相似三角形可得出 [AM/MN

＝

MC]，因此BM=MC，M是BC的中点．即x=2．

（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°，
∴∠CMN=∠MAB，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN．
（2）∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使△ABM∽△AMN，必须有即[AM/MN＝
AB
BM]，
由（1）知 [AM/MN＝
AB
MC]，
∴[AB/BM＝
AB
MC]，
∴BM=MC，
∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x=2．

点评：
本题考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．

考点点评：本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，根据相似三角形得出与所求的条件相关的线段成比例是解题的关键．

1年前

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