如图，二次函数y=-x2+ax+b的图象与x轴交于A(−12，0)、B（2，0）两点，且与y轴交于点C．

解题思路：（1）∵二次函数y=-x²+ax+b的图象经过A(−

1

2

，0)、B（2，0）两点，利用待定系数法就可以直接求出a、b的值，求出抛物线的解析式．
（2）不等式-x²+ax+b＞0的解集，实际上就是y=-x²+ax+b＞0时x的取值范围，利用抛物线与x轴的交点和图象特征就可以求出．
（3）在（1）题已将证得∠ACB=90°，若A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形，则有两种情况需要考虑：
①以BC、AP为底，AC为高；可先求出直线BC的解析式，进而可确定直线AP的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点P的坐标．
②以AC、BP为底，BC为高；方法同①．

（1））∵二次函数y=-x²+ax+b的图象经过A(−
1
2，0)、B（2，0）两点，由题意，得


0＝−
1
4−
1
2a+b
0＝−4+2a+b，解得：

a＝
3
2
b＝1，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+[3/2]x+1．
∴C（0，1），
∴AC²=AO²+CO²=[5/4]，
CB²=BO²+CO²=5，
AB²=[25/4]，
∴AC²+CB²=AB²，
∴△ACB是直角三角形；

（2）由图象得原不等式的解集为：
-[1/2]＜x＜2

（3）存在，点P（[5/2]，-[3/2]）或（-[5/2]，-9）；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以BC、AP为底；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直线BC的解析式为：y=-[1/2]x+1；
设过点B且平行于AC的直线的解析式为y=-[1/2]x+h，
将点A（-[1/2]，0）代入得：（-

点评：
本题考点： 二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）；直角梯形．

考点点评： 本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求抛物线的解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数与不等式的关系，直角梯形的运用．