已知α1=（1，-2，1）T，α2=（-1，a，1）T依次是三阶不可逆实对称矩阵 A的属于的特征值λ1=1，λ2=-1的

解题思路：（Ⅰ）首先，根据A不可逆，得到A的特征值必有一个为0；其次，由实对称矩阵不同特征值的特征向量是正交的，建立方程组，求得特征向量即可；最后，再根据对角化矩阵，求得矩阵A．（Ⅱ） 利用（Ⅰ）求出的对角化矩阵，求出A2009，就可以求出A2009β．

（Ⅰ）∵A不可逆
∴A的特征值必有一个为0
设属于0的特征向量为α3＝(b，c，d)T
则α₁、α₂、α₃是正交的
∴

−2a＝0
b−2c+d＝0
−b+ac+d＝0
解得：a=0和满足条件的一个α3＝(1，1，1)T
∴存在可逆矩阵P＝

1−11
−201
111，使得P−1AP＝∧＝

1
−1
0
∴A=P∧P^-1
又容易求出P−1＝−
1
6

−12−1
30−3
−2−2−2
∴A＝−
1
3

11−2
1−21
−211
（Ⅱ） 由（I），得
A²⁰⁰⁹β=P∧²⁰⁰⁹P^-1β=P∧P^-1β=Aβ=

0
0
0

点评：
本题考点： 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．

考点点评： 此题考查实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，以及实对称矩阵的对角化和正交化，是基础知识点．