求和1/1·3+1/3·5+1/5·7+...+1/(2n+1)(2n-1)

1/（2n+1）（2n-1）
=[（2n+1）-（2n-1）]/【2×（2n+1）（2n-1）】
=1/2×[（2n+1）-（2n-1）]/【（2n+1）（2n-1）】
=1/2×[1/（2n-1）-1/(2n+1)
所以1/1*3=1/2×（1-1/3）
1/3*5=1/2×（1/3-1/5）
.
所以原式=1/2×（1-1/3）+1/2*(1/3-1/5)+.+1/2×[1/（2n-1）-1/(2n+1)
=1/2*(1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+.+1/（2n-1）-1/(2n+1))
=1/2*(1-1/(2n+1))
=1/2*2n/(2n+1)
=n/2n+1

1/(2n-1)(2n 1)=1/2[(2n-1)(2n 1)]
原式=1/2[1-1/3 1/3-1/5 ... 1/(2n-1)-1/(2n 1)]=1/2[1-1/(2n 1)]=n/(2n 1)
一般分式求和都用裂项求和。

1/1·3+1/3·5+1/5·7+...+1/(2n+1)(2n-1)
=[2/1·3+2/3·5+2/5·7+...+2/(2n+1)(2n-1)] ÷2
=[1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+……+1/(2n-1)-1/(2n+1)]÷2
=[1-1/(2n+1)]÷2
=n/(2n+1)