已知函数f（x）=x2-4x+3．

解题思路：（I）由已知中函数f（x）=x²-4x+3我们易得到x≤1或x≥3时，f（x）≥0，根据正弦函数的值域为[-1，1]，易得到对于任意的x（x∈R）都有f（sinx）≥0恒成立．
（Ⅱ）若锐角a满足f（4sinα）=f（2cosα），则4sinα=2cosα或4sinα+2cosα=4，结合同角三角函数关系即可得到对应sinα值．
（Ⅲ）若f（2^x+2^-x+a）＜f（[3/2]）对于任意的x∈[-1，1]恒成立，我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范围．

证明：（Ⅰ）∵x≤1或x≥3时，f（x）≥0
∵-1≤sinx≤1
∴f（sinx）≥0
（Ⅱ）∵f（4sinα）=f（2cosα）
∴4sinα=2cosα或4sinα+2cosα=4且α是锐角
∴sinα＝
2
5
5或sinα＝
3
5
（Ⅲ）g（x）=2^x+2^-x+a（x∈[-1，1]）是偶函数，且g（x）在[-1，0]是减函数，在[0，1]上是增函数．
∴

g(x)min＝2+a＞
3
2
g(x)max＝
5
2+a＜
5
2
解得−
1
2＜a＜0

点评：
本题考点： 二次函数的性质；其他不等式的解法；三角函数的恒等变换及化简求值．

考点点评： 本题考查的知识点是二次函数的性质，指数不等式的解法，三角函数的性质及同角三角函数的关系，其中根据二次函数的图象及性质，判断出函数f（x）=x2-4x+3的性质是解答本题的关键．