（本小题满分14分）已知实系数一元二次方程 x 2 + px + q =0的两根分别为 x 1 ， x 2 。（1）若上
| （本小题满分14分） 已知实系数一元二次方程 x 2 + px + q =0的两根分别为 x 1 ， x 2 。 （1）若上述方程的一个根 x 1 =4- i （ i 为虚数单位），求实数 p ， q 的值； （2）若方程的两根满足| x 1 |+| x 2 |=2，求实数 p 的取值范围。 |
赞 一别方兹晨 幼苗
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（1）根据“实系数方程虚根共
轭成对出现”，知 x 2 =4+ i ，……2分
根据韦达定理，知 p =-( x 1 + x 2 )=-8； q = x 1 · x 2 =17。 ……2分
（2）①当△= p 2 -4 q <0时，方程的两根为虚数，且
，
∴| x 1 |=| x 2 |=1，∴ q =1。∴ p =-( x 1 + x 2 )=-2Re( x 1 )∈[-2，2]，
又根据△= p 2 -4 q <0，∴ p ∈(-2，2)。
……3分
②（法一）当△= p 2 -4 q ≥0时，方程的两根为实数，
（2-1）当 q >0时，方程的两根同号，∴| x 1 |
+| x 2 |=| x 1 + x 2 |=| p |=2，∴ p =±2；
（2-2）当 q =0时，方程的一根为0，∴| x 1 |+| x 2 |=| x 1 + x 2 |=| p |=2，∴ p =±2；
（2-2）当 q <0时，方程的两根异号，∴| x 1 |+| x 2 |=| x 1 - x 2 |=2，
∴4=( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 = p 2 -4 q ，∴ p 2 =4+4 q ∈[0，4)，∴ p ∈(-2，2)
∴当△≥0时， p ∈[-2，2]。……3分
综上， p 的取值范围是[-2，2]。
（法二）当△= p 2 -4 q ≥0时，方程的两根为实数，
∴| p |=| x 1 + x 2 |≤| x 1 |+| x 2 |=2，当 x 1 与 x 2 同号或有一个为0时等号取到。特别的，取 x 1 =2， x 2 =0时 p =-2；取 x 1
=-2， x 2 =0时 p =2。
∴ p ∈[-2，2]。……3分
综上， p 的取值范围是[-2，2]
略
轭成对出现”，知 x 2 =4+ i ，……2分根据韦达定理，知 p =-( x 1 + x 2 )=-8； q = x 1 · x 2 =17。 ……2分
（2）①当△= p 2 -4 q <0时，方程的两根为虚数，且
，∴| x 1 |=| x 2 |=1，∴ q =1。∴ p =-( x 1 + x 2 )=-2Re( x 1 )∈[-2，2]，
又根据△= p 2 -4 q <0，∴ p ∈(-2，2)。
……3分②（法一）当△= p 2 -4 q ≥0时，方程的两根为实数，
（2-1）当 q >0时，方程的两根同号，∴| x 1 |
+| x 2 |=| x 1 + x 2 |=| p |=2，∴ p =±2；（2-2）当 q =0时，方程的一根为0，∴| x 1 |+| x 2 |=| x 1 + x 2 |=| p |=2，∴ p =±2；
（2-2）当 q <0时，方程的两根异号，∴| x 1 |+| x 2 |=| x 1 - x 2 |=2，
∴4=( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 = p 2 -4 q ，∴ p 2 =4+4 q ∈[0，4)，∴ p ∈(-2，2)
∴当△≥0时， p ∈[-2，2]。……3分
综上， p 的取值范围是[-2，2]。
（法二）当△= p 2 -4 q ≥0时，方程的两根为实数，
∴| p |=| x 1 + x 2 |≤| x 1 |+| x 2 |=2，当 x 1 与 x 2 同号或有一个为0时等号取到。特别的，取 x 1 =2， x 2 =0时 p =-2；取 x 1
=-2， x 2 =0时 p =2。∴ p ∈[-2，2]。……3分
综上， p 的取值范围是[-2，2]
略
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你能帮帮他们吗