如果正三棱锥的所有棱长都为a那么它的体积为

先求正三棱锥PABC的底（正三角形ABC）面积S：
求正三角形ABC的高AK： AK = 根号[ a^2 - (a/2)^2] =( 根号3) /2
S = [a*a*（根号3）/2] / 2 = a^2(根号3）/ 4.
再求正三棱锥PABC的高 PQ：PQ = 根号{a^2 - [( 根号3) /2]*2/3]^2} = (a*根号6)/3.
最后求正三棱锥PABC的体积V： V = S*PQ / 3= [ a^2(根号3）/ 4] * [( a*根号6)/3.]/3
=a^3[ 根号18 / 36] =a^3[ 3根号2/ 36] = a^3(根号2）/12.
答：正三棱锥PABC的体积为：a^3(根号2）/12.