高等数学中的等价无穷小我发现只要当x=0时保证两个函数的值和导数的值都分别相等它们就是等价的对吗?

2007年数学二考纲考研考纲
高等数学
一、函数、极限、连续
考试内容：函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：
函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
考试要求：
1. 理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系
2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性
3. 理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念
4. 掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念
5. 理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系
6. 掌握极限的性质及四则运算法则
7. 掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法．
8. 理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限,
9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）,会判别函数间断点的类型
10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）,并会应用这些性质．
二、一元函数微分学
考试内容:导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L'Hospital）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分 曲率的概念 曲率的半径
考试要求：
1. 理解导数和微分的概念,理解导数和微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系．
2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分
3. 了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数
4. 会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数
5. 理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理,了解并会用柯西( Cauchy ）中值定理
6. 掌握用洛必达法刚求未定式极限的方法．
7. 理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．
8. 会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形．
9. 了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径．
三、一元函数积分学
考试内容:原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用
考试要求
1. 理解原函数的概念,理解不定积分和定积分的概念
2. 掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理,掌握换元积分法与分部积分法
3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分
4. 理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿一莱布尼茨公式
5. 了解反常积分的概念,会计算反常积分
6. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心等）及函数的平均值

你的结论是对的，因为等价无穷小量的定义就是两者比式的极限等于1。
其实你发现的是用洛必达法则求极限，这个在后面导数的运用这一章会学。
恭喜你，你已经等于自己先学会了洛必达法则。善于动脑的孩子~

不知你学过泰勒公式没，很重要的公式，展开之后你就会发现这个问题的结论。
ps：对于无穷小来说，它的阶是由在该点展开的泰勒级数的第一非零项决定的，当然在遇到非整数阶时就不适用了，这时候会此较复杂，不过本科忦断应该用不到

其实两个函数的值在x=0时相等不相等的没有关系，例如cosx-1和1/2（x?2）在x=0时后者没有意义。所以满足导数相等才是关键。
构造函数
F（x）=｛fx，x<>x0
=0，x=x0
Gx={gx,x<>xo
=0,x=x0
FX Gx在【x0，x】都满足柯西定理的条件
则有Fx-Fx0/Gx-Gxo=F’(p)/G’(P...

如果导数值相等，但等于0，就不正确 比如x²和x³，在x→0时。
如果导数值相等，但不等0，且导函数还连续。你的结论正确。
这就是“洛毕塔法则”，你可以去查。