设数列{ a n }的各项均为正数，前 n 项和为 S n ，对于任意的 n ∈N ＋ ， a n ， S n ， a

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根据题意，对于任意 n ∈N _＋ ，总有 a _n ， S _n ， a 成等差数列，则对于 n ∈N ^* ，总有2 S _n ＝ a _n ＋ ①
所以2 S _{n －1} ＝ a _{n －1} ＋ ( n ≥2)②
①－②得2 a _n ＝ a _n ＋ － a _{n －1} － ，即 a _n ＋ a _{n －1} ＝( a _n ＋ a _{n －1} )( a _n － a _{n －1} )因为 a _n ， a _{n －1} 均为正数，所以 a _n － a _{n －1} ＝1( n ≥2)，
所以数列{ a _n }是公差为1的等差数列，又 n ＝1时，2 S ₁ ＝ a ₁ ＋ a ，解得 a ₁ ＝1，所以 a _n ＝ n ，对于任意的实数 x ∈(1，e]，有0 n ＝ ≤ ，所以 T _n ≤ ＝ ，又对任意的实数 x ∈(1，e]和任意正整数 n ，总有 T _n < r ( r ∈N _＋ )，所以 r 的最小值为2.