小明家有一个正十二面体的月历,棱长为10cm

侧面正五边形外接圆半径 r=(10/2)/sin36°=5/sin36°=20/√(10-2√5)≈8.5（cm）；
（2）单侧面积 s=[(r²sin72°)/2]*5=5*[(25/sin²36°)sin72°]/2=125cot36°=125(√5+1)/√(10-2√5)；
侧面积总和 S=12s=12*125[(√5+1)/√(10-2√5)]≈2064.57（ cm² ）（总用纸量）；
（1）沿几何体任意一条棱线（例如正对面这条竖向上行的棱线）、过球心用平面切割几何体,所得球（圆）内接六边形形状如下：

图中棱线长 L=10 cm 即几何体棱长,
正五边形角边距 d=r(1+cos36°)=(5/sin36°)*(1+cos36°)=5√(10+2√5)/(√5-1)≈15.3884；
若外接球（圆）半径为 R,则 2arcsin[d/(2R)]+arcsin[L/(2R)]=90°；
sin{2arcsin[d/(2R)]}=cos{arcsin[L/(2R)]} → 2*[d/(2R)]*√(4R²-d²)/(2R)=√(4R²-L²)/(2R) →
→ d²(4R²-d²)=R²(4R²-L²)；解得 R²=75（此解 R侧面距球心的距离 h=√(R²-r²)=(186.7-8.5²)≈10.693；
以球心为顶点、侧面正五边形为底面的棱锥体积是 v=s*h/3；
整个几何体包含 12 个这种棱锥,所以 V=12v=12s*h/3=2064.57*10.693/3≈7353.8（cm³）；