选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为(2，π3)，半径r=1，P在圆C上运动．（I）求圆
选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为(2，
)，半径r=1，P在圆C上运动．
（I）求圆C的极坐标方程；
（II）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴）中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．
在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为(2，
| π |
| 3 |
（I）求圆C的极坐标方程；
（II）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴）中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．
赞 lee_ah 幼苗
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解题思路：（Ⅰ）先设圆上任一点坐标为（ρ，θ），由余弦定理得出关于ρ，θ的关系式，即为所求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）设Q（x，y）则P（2x，2y），根据P在圆上，即可Q的直角坐标方程．
（Ⅱ）设Q（x，y）则P（2x，2y），根据P在圆上，即可Q的直角坐标方程．
（Ⅰ）设圆上任一点坐标为（ρ，θ），由余弦定理得12＝ρ2+22−2•2ρcos(θ−
π
3)
所以圆C的极坐标方程为ρ2−4ρcos(θ−
π
3)+3＝0…（5分）
（Ⅱ）圆C的极坐标方程为ρ2−4ρcos(θ−
π
3)+3＝0可化成直角坐标方程为：
(x−1)2+(y−
3)2＝
1
4
设Q（x，y）则P（2x，2y），P在圆上，
∴(2x−1)2+(2y−
3)2＝
1
4，
则Q的直角坐标方程为(x−
1
2)2+(y−
3
2)2＝
1
4…（10分）
点评：
本题考点： 圆锥曲线的轨迹问题；简单曲线的极坐标方程．
考点点评： 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距离等基本方法，属于基础题．
1年前
10
shangcming 幼苗
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在直角坐标系中，
圆心为（1，√3）
圆的方程为（X﹣1）²＋(Y﹣√3) ²＝1
X²﹣2X﹢1﹢Y²﹣2√3Y﹢3＝1
X²﹢Y²﹣2X﹣2√3Y﹢3=0
化为极坐标方程：
ρ²－2ρcosθ－2√3ρsinθ+3=0
圆心为（1，√3）
圆的方程为（X﹣1）²＋(Y﹣√3) ²＝1
X²﹣2X﹢1﹢Y²﹣2√3Y﹢3＝1
X²﹢Y²﹣2X﹣2√3Y﹢3=0
化为极坐标方程：
ρ²－2ρcosθ－2√3ρsinθ+3=0
1年前
1
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