limx→0cos(sinx)−cosxx2(1−cosx)．

注意到sinx＜x（x＞0），
故对函数cosx在区间[sinx，x]上利用拉格朗日中值定理可得，
cos（sinx）-cosx=-sinξ（sinx-x），其中ξ∈（sinx，x），
从而原极限=
lim
x→0
cos(sinx)−cosx
x2(1−cosx)=
lim
x→0
sinξ(x−sinx)
x2(1−cosx)．
因为
lim
x→0sinx＝0，
lim
x→0
sinx
x＝1，
故利用夹逼定理可得，

lim
x→0ξ=0，
lim
x→0
ξ
x=1．
从而，
lim
x→0
sinξ
ξ=
lim
ξ→0
sinξ
ξ=1．
利用洛必达大致可得，

lim
x→0
x−sinx
x(1−cosx)=
lim
x→0
1−cosx
1−cosx+xsinx=
lim
x→0
sinx
2sinx+xcosx=
lim
x→0
cosx
3cosx−xsinx=[1/3]．
从而，原极限=
lim
x→0
sinξ(x−sinx)
x2(1−cosx)=
lim
x→0
sinξ
ξ•
lim
x→0
ξ
x•
lim
x→0
x−sinx
x(1−cosx)=[1/3]．

点评：
本题考点： 复合函数的极限运算法则；拉格朗日中值定理及推论的应用．

考点点评： 本题考查了复合函数极限的运算，解题中利用了拉格朗日中值定理、极限的运算性质以及夹逼定理，具有较强的综合性，难度系数偏大．需要注意的是，在解题中利用拉格朗日中值定理时，其中的参数ξ依赖于x的取值，会随x的变化而变化，并不是一个固定常数．