采阳小公主 幼苗
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1 |
x |
1 |
xn |
证明:(I)设F(x)=[1/2]x2+lnx-[2/3]x3,则F′(x)=
(1−x)(1+x+2x2)
x,
∵x>1,∴F′(x)<0,∴F(x)在[1,+∞)上是减函数.
又F(1)=-[1/6]<0,故在[1,+∞)上,F(x)<0,即[1/2]x2+lnx<[2/3]x3,
∴在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=[2/3]x3图象的下方;---------(6分)
(II)∵x>0,∴[f′(x)]n-f′(xn)=(x+
1
x)n−(xn+
1
xn).
当n=1时,不等式显然成立;
当n≥2时,有[f′(x)]n-f′(xn)=
C1nxn−1•
1
x+
C2nxn−2•
1
x2+…+
Cn−1nx•
1
xn−1
=[1/2][
C1n(xn−2+
1
xn−2)+
C2n(xn−4+
1
xn−4)+…+
Cn−1n(xn−2+
1
xn−2)]
≥[1/2](2
C
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查二项式定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
1年前
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