已知函数f（x）=ax+[a−1/x]-lnx．

解题思路：（1）分类讨论，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调性；
（2）证明lnn≤[1/2]（n-[1/n]），可得[lnn/n]≤[1/2]（1-

1

n2

），利用放缩法、裂项求和，即可证明结论．

（1）∵f（x）=ax+[a−1/x]-lnx，
∴f′（x）=
(x−1)(ax+a−1)
x（x＞0）
①a≤0时，f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数；
②0＜a＜[1/2]时，f（x）在（0，1），（[1−a/a]，+∞）是增函数，在（1，[1−a/a]）是减函数；
③a=[1/2]时，f（x）在（0，+∞）是增函数；
（2）证明：由（1）知a=[1/2]时，f（x）在（0，+∞）是增函数．
x≥1时，f（x）≥f（1）=0，
∴lnx≤[1/2]（x-[1/x]），
∴lnn≤[1/2]（n-[1/n]），
∴[lnn/n]≤[1/2]（1-[1
n2），
∵
1
n2＞
1
n(n+1)=
1/n]-[1/n+1]，
∴[ln1/1]+[ln2/2]+…+
ln(n−1)
n−1+[lnn/n]＜[1/2][n-（1-[1/2]+[1/2]-[1/3]+…+[1/n]-

点评：
本题考点： 不等式的证明；函数单调性的判断与证明；数列的求和．

考点点评： 本题是中档题，考查函数的导数的应用，不等式的综合应用，考查计算能力，转化思想的应用．