已知抛物线y=ax 2 -2ax+c与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1，0），O是坐标原点，且|O

（1）∵A（-1，0），|OC|=3|OA|
∴C（0，-3）
∵抛物线经过A（-1，0），
C（0，-3）
∴

c=-3
(-1 ) 2 ×a-2a×(-1)+c=0
∴

a=1
c=-3
∴y=x ² -2x-3．

（2）由（1）的抛物线知：点B（3，0）；
设直线BC的解析式为：y=kx-3，代入B点坐标，得：
3k-3=0，解得 k=1
∴直线BC的函数表达式为y=x-3．

（3）当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，设D点的坐标为（m，-2），
根据题意得：-2=m-3，∴m=1．
①当0＜t≤1时，正方形和△OBC的重合部分是矩形；
∵OO ₁ =t，OD=2
∴S ₁ =2t；
当1＜t≤2时，正方形和△OBC的重合部分是五边形，如右图；
∵OB=OC=3，∴△OBC、△D ₁ GH都是等腰直角三角形，∴D ₁ G=D ₁ H=t-1；
S ₂ =S _矩形DD1O1O -S _△D1HG =2t-
1
2 ×（t-1） ² =-
1
2 t ² +3t-
1
2 ．
②由①知：
当0＜t≤1时，S=2t的最大值为2；
当1＜t≤2时，S=-
1
2 t ² +3t-
1
2 =-
1
2 （t-3） ² +4，由于未知数的取值范围在对称轴左侧，且抛物线的开口向下；
∴当t=2时，函数有最大值，且值为 S=-
1
2 +4=
7
2 ＞2．
综上，当t=2秒时，S有最大值，最大值为
7
2 ．

（4）由（2）知：点P（1，-2）．假设存在符合条件的点M；
①当AM
∥
. PN时，点N、P的纵坐标相同，即点N的纵坐标为-2，代入抛物线的解析式中有：
x ² -2x-3=-2，解得 x=1±
2 ；
∴AM=NP=
2 ，
∴M ₁ （-
2 -1，0）、M ₂ （
2 -1，0）．
②当AN
∥
. PM时，平行四边形的对角线PN、AM互相平分；
设M（m，0），则 N（m-2，2），代入抛物线的解析式中，有：
（m-2） ² -2（m-2）-3=2，解得 m=3±
6 ；
∴M ₃ （3-
6 ，0）、M ₄ （3+
6 ，0）．
综上，存在符合条件的M点，且坐标为：
M ₁ （-
2 -1，0）、M ₂ （
2 -1，0）、M ₃ （3-
6 ，0）、M ₄ （3+
6 ，0）．