如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不

（1）∵点A（-1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax²+bx+3上，
∴

a−b+3＝0
9a+3b+3＝0，
解得a=-1，b=2，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．

（2）在抛物线解析式y=-x²+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：


3k+b＝0
b＝3，
解得k=-1，b=3，
∴y=-x+3．
设E点坐标为（x，-x²+2x+3），则P（x，0），F（x，-x+3），
∴EF=y_E-y_F=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x．
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴EF=OD=2，
∴-x²+3x=2，即x²-3x+2=0，
解得x=1或x=2，
∴P点坐标为（1，0）或（2，0）．

（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与▱ODEF对称中心的直线平分▱ODEF的面积．

①当P（1，0）时，
点F坐标为（1，2），又D（0，2），
设对角线DF的中点为G，则G（[1/2]，2）．
设直线AG的解析式为y=kx+b，将A（-1，0），G（[1/2]，2）坐标代入得：


−k+b＝0

1
2k+b＝2，
解得k=b=[4/3]，
∴所求直线的解析式为：y=[4/3]x+[4/3]；
②当P（2，0）时，
点F坐标为（2，1），又D（0，2），
设对角线DF的中点为G，则G（1，[3/2]）．
设直线AG的解析式为y=kx+b，将A（-1，0），G（1，[3/2]）坐标代入得：


−k+b＝0
k+b＝
3
2，
解得k=b=[3/4]，
∴所求直线的解析式为：y=[3/4]x+[3/4]．
综上所述，所求直线的解析式为：y=[4/3]x+[4/3]或y=[3/4]x+[3/4]．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、平行四边形的性质、中心对称的性质等知识点．第（3）问中，特别注意要充分利用平行四边形中心对称的性质，只要求出其对称中心的坐标，即可利用待定系数法求出所求直线的解析式．