已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A^2+2A-E的特征值为?
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为什么相应特征值为:x^2+2x-1，这个新矩阵并不是对角线上元素相加，其它元素也改变了值？为什么还可以这样算？
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-2,2,5,把原来的特征值带入方程即可.
第一个理解,设v是A的对应特征值a的特征向量,那么Bv=(a^2+2a+-1)v,v也是B的对应于a^2+2a+-1的特征向量.从而因为A有个特征值,对应三个特征向量v1,v2,v3,所以我们也找到了B的三个特征向量,对应的特征值可以算出.
第二个理解,从矩阵看,A可以对角化,即存在可逆阵P使得,PAP^{-1}为对角阵,对角线元素为-1,1,2,从而你可以计算PBP^{-1}也是个对角阵,（注意,PA^2 P^{-1}=PAP^{-1}PAP^{-1},简单）对角线元素可以轻易 算出.
这两个解释本质是一样的
第一个理解,设v是A的对应特征值a的特征向量,那么Bv=(a^2+2a+-1)v,v也是B的对应于a^2+2a+-1的特征向量.从而因为A有个特征值,对应三个特征向量v1,v2,v3,所以我们也找到了B的三个特征向量,对应的特征值可以算出.
第二个理解,从矩阵看,A可以对角化,即存在可逆阵P使得,PAP^{-1}为对角阵,对角线元素为-1,1,2,从而你可以计算PBP^{-1}也是个对角阵,（注意,PA^2 P^{-1}=PAP^{-1}PAP^{-1},简单）对角线元素可以轻易 算出.
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