求微分方程y″（x+y′2）=y′满足初始条件y（1）=y′（1）=1的特解．

设y′=p，则原方程变为：
p′（x+p²）=p，
即：
[dp/dx(x+p2)＝p，
化作：
x+p2
p＝
dx
dp]，
即：[dx/dp＝
x
p+p
令
x
p＝u，则x＝up，
有：
dx
dp＝u+p
du
dp]
所以：u+p
du
dp＝u+p，
得：[du/dp＝1，
所以：u=p+c，c为任意常数，
则：
x
p＝p+c，
又因为y′（1）=1，
即：x=1时，p=1，
所以：c=0，
从而：x=p²
则：p＝
x]，
y′＝
x
求得：y＝
2
3x
3
2+C，C为任意常数，
因为：y（1）=1，
所以，C=[1/3]，
于是，y＝
2
3x
3
2+
1
3．

点评：
本题考点： 可降阶的高阶微分方程求解．

考点点评： 本题考查可降阶的高阶微分方程的求解．需要注意灵活选定自变量、因变量，以便于求解为原则．