如图，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A（-4，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．

解题思路：（1）将A（-4，0）、B（3，0）两点的坐标代入y=ax2+bx-4，运用待定系数法即可求出抛物线的函数关系式；（2）设点P的坐标为（m，13m2+13m-4），则-4＜m＜0．根据S四边形ABCP=S△AOP+S△COP+S△BOC，得出S四边形ABCP=-23（m+2）2+503，由二次函数的性质即可求解；（3）在直角△BOC中，由勾股定理求出BC=5．设M点的坐标为（-12，y），如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形时，分两种情况讨论：（i）以BC为边长时，又分两种情况，如果四边形CBMN是菱形，那么由BM=BC，列出关于y的方程，解方程即可；如果四边形BCMN是菱形，那么由CM=BC，列出关于y的方程，解方程即可；（ii）以BC为对角线时，四边形MCNB是菱形，则由BM=CM，列出关于y的方程，解方程即可．

（1）∵抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于A（-4，0）、B（3，0）两点，
∴

16a−4b−4＝0
9a+3b−4＝0，解得

a＝
1
3
b＝
1
3，
∴抛物线的解析式为y=[1/3]x²+[1/3]x-4；

（2）如图，设点P的坐标为（m，[1/3]m²+[1/3]m-4），则-4＜m＜0，[1/3]m²+[1/3]m-4＜0．连接OP．
∵S_{四边形ABCP}=S_△AOP+S_△COP+S_△BOC
=[1/2]×4（-[1/3]m²-[1/3]m+4）+[1/2]×4（-m）+[1/2]×4×3
=-[2/3]m²-[8/3]m+14
=-[2/3]（m+2）²+[50/3]，
∴当m=-2时，四边形ABCP的面积最大，最大值为[50/3]，此时点P的坐标为（-2，-[10/3]）；

（3）存在这样的点M、N，能够使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵OB=3，OC=4，∠BOC=90°，
∴BC=
32+42=5．
设M点的坐标为（-[1/2]，y），分两种情况讨论：
（i）以BC为边长时，
如果四边形CBMN是菱形，那么BM=BC，
即（3+[1/2]）²+y²=25，解得y=±

51
2，
即存在M（-[1/2]，

51
2）或（-[1/2]，-

51
2），能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形；
如果四边形BCMN是菱形，那么CM=BC，
即（0+[1/2]）²+（y+4）²=25，
整理，得4y²+32y-35=0，解得y=-4±
3
11
2，
即存在M（-[1/2]，-4+
3
11
2）或（-[1/2]，-4-
3
11
2），能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形；
（ii）以BC为对角线时，四边形MCNB是菱形，则BM=CM，
即（3+[1/2]）²+y²=（0+[1/2]）²+（y+4）²，解得y=-[1/2]，
即存在M（-[1/2]，-[1/2]），能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形；
综上可知，存在这样的点M、N，使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，此时点M的坐标为：M₁（-[1/2]，

51
2），M₂（-[1/2]，-4+
3
11
2），M₃（-[1/2]，-

51
2），M₄（-[1/2]，-4-
3
11
2），
M₅（-[1/2]，-[1/2]）．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，四边形的面积求法，二次函数的性质，勾股定理，菱形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．其中（3）需要注意分析题意分情况进行讨论，否则容易漏解．