请问数学题：判断函数f（x）=x+1/x在（1,+∞）上的单调性,并证明.要解答过程 请高手帮帮忙,谢谢.

淮南壮丁 1年前 已收到4个回答 举报
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寒星2007 春芽

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设x1>x2>1 则
f(x1)-f(x2)
=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2
=(x1-x2)[1-1/x1x2]
x1>x2>1
所以x1-x2>0 x1x2>1
所以1/x1x20
f(x1)-f(x2)>0
f（x）=x+1/x在（1,+∞）上是增函数

1年前

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超帅碧咸 幼苗

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除了楼上的求导，再介绍另一种方法：设x'>x,则x'的范围也在（0,正无穷），用f(x')-f(x) =x'-x+1/x'-1/x=(x'-x)-(x'-x)/xx'=(x'-x)[1-1/x'x]谈论：因为x'-x>0,又因为其取值范围在1到正无穷，所以1/x'x<1, 所以[1-1/x'x]>0, 所以(x'-x)...

1年前

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muyihanfei 幼苗

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求导，最简便了
f'（x）=1-1/x*2
临界值f'（1）=1-1/1*2=0
所以，当在（1，+∞），f'（x）=1-1/x*2＞0，即单调递增。

1年前

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wuyufei1983 幼苗

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单调递增
证明 ：易知f(x)在该区间上恒有意义，设1f(x1)-f(x2)=(x1+1/x1)-(x2+1/x1)=x1-x2+1/x1-1/x2=-(x2-x1)+(x2-x1)/(x1x2)=((x2-x1)(1-x1x2))/(x1x2)<0，所以满足增函数的定义……

1年前

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