已知函数f（x）=x2-alnx．

解题思路：（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，讨论a＞0，a≤0，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意定义域；
（Ⅱ）求出函数的导函数f′（x），然后利用导数研究函数g（x）在区间（1，e）上的最小值，最后讨论最小值的符号，从而确定函数f（x）在区间（1，e）上的零点情况．

（Ⅰ）函数f（x）=x²-alnx的导数f′（x）=2x-[a/x]=
2x2−a
x（x＞0），
若a≤0，则f′（x）＞0，即有f（x）在（0，+∞）上递增；
若a＞0，由f′（x）＞0得到x＞

a
2，由f′（x）＜0得到0＜x＜

a
2，
即有a＞0时，f（x）的增区间为（

a
2，+∞），减区间为（0，

a
2）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的极小值为f（

a
2）=[a/2]（1-ln[a/2]），也为最小值．
当[a/2]（1-ln[a/2]）＞0，即0＜a＜2e，f（x）的最小值大于0，则y=f（x）在区间（1，e）上无零点；
当[a/2]（1-ln

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，考查函数的零点个数的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．