方程sin x=x有几个实根

dalee7905 1年前 已收到2个回答 举报

悠_闲晃中 幼苗

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设f(x)=x-sinx,则
f'(x)=1-cosx≥0
∴f(x)在R上单调递增
∴f(x)与x轴至多有一个交点,即f(x)=0至多有一个实根
又f(-1)=-1-sin(-1)=sin1-10
由介值定理知,至少存在一个x0,使f(x)=0,即f(x)=0至少有一个实根
综上可知,f(x)=0有且仅有一个实根
即sin x=x有且仅有一个实根
(实际上这个根为x=0)

1年前

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一水之隔 幼苗

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因为正弦值是有界的
-1≤sinx≤1
所以我们只考虑【-1,1】上的即可
由经典不等式知,0<x<π/2时,sinx<x<tanx
所以0<x<1时,sinx<x
由对称性有-1<x<0时,也有sinx<x
所以只有x=0时,sinx=x
故方程sinx=x只有1个实根

1年前

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