已知函数f（x）=x3-3ax-1，a≠0

【答案】（1）由题知：f'（x）=3x²-3a=3（x²-a），
①当a＜0时，对∀x∈R，恒有f'（x）＞0，
即当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．
②当a＞0时，
解f'（x）＞0得，x＞
a或x＜−
a，
解f'（x）＜0得，−
a＜x＜
a，
即当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（−
a，
a），
f（x）的单调递增区间为（-∞，−
a）和（
a，+∞）．
（2）∵y=f（x）在 x=1处取得极值，
∴f'（1）=3-3a=0，
则a=1．
即f（x））=x³-3x-1，f'（x）=3x²-3；
解f'（x）=0得，x=±1．
由（1）知：f（x）在x=-1处取得极大值f（-1）=1；在x=1处取得极小值f（1）=-3
∵直线y=m与y=f（x）函数的图象有三个不同的交点，
结合f（x）的单调性可得，-3＜m＜1．
所以m的范围为（-3，1）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了利用导数求函数单调性的方法，同时也考查了分类讨论和数形结合的思想．