如图所示，直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，CA=CB=2，∠BCA=90°，棱AA 1 =4，E、M、N分别
| 如图所示，直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，CA=CB=2，∠BCA=90°，棱AA 1 =4，E、M、N分别是CC 1 、A 1 B 1 、AA 1 的中点， （1）求证：A 1 B⊥C 1 M； （2）求BN的长； （3）求二面角B 1 -A 1 E-C 1 平面角的余弦值。 |
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赞 Ellen_milan 种子
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如图建立空间直角坐标系，
（1）
，
，
，
，
∴
，
∴A 1 B⊥C 1 M。
（2）依题意得：B（0，2，0），N（2，0，2），
∴
。
（3）依题意得：
，
，
∴
，
，
∴平面
，
得
，
设平面
，
则
，
∴y=-z，
，
∴x=-z，
令z=1，
则
，
则
，
由题意可知：二面角B 1 -A 1 E-C 1 的大小是锐角，
所以二面角B 1 -A 1 E-C 1 的平面角的余弦值是
。 
（1）
，
，
，
，∴
，∴A 1 B⊥C 1 M。
（2）依题意得：B（0，2，0），N（2，0，2），
∴
。（3）依题意得：
，
，∴
，
， ∴平面
，得
，设平面
，则
，∴y=-z，
，∴x=-z，
令z=1，
则
，则
，由题意可知：二面角B 1 -A 1 E-C 1 的大小是锐角，
所以二面角B 1 -A 1 E-C 1 的平面角的余弦值是
。 
1年前
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