已知四边形ABCD是正方形,O为正方形对角线的交点,一动点P从B开始,沿射线BC运动,连结DP,作CN⊥DP于点M,且交

已知四边形ABCD是正方形,O为正方形对角线的交点,一动点P从B开始,沿射线BC运动,连结DP,作CN⊥DP于点M,且交直线AB于点N,连结OP,ON。(当P在线段BC上时,如图1:当P在BC的延长线上时,如图2)
(1)请从图1,图2中任选一图证明下面结论:
①BN=CP:②OP=ON,且OP⊥ON
(2) 设AB=4,BP=x,试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系。
tangyaling 1年前 已收到1个回答 举报

好人好梦123 幼苗

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(1)证明:如图1,
①∵四边形ABCD是正方形,
∴OC=OB,DC=BC,∠DCB=∠CBA=90°,∠OCB=∠OBA=45°,∠DOC=90°,DC∥AB。
∵DP⊥CN,∴∠CMD=∠DOC=90°。
∴∠BCN+∠CPD=90°,∠PCN+∠DCN=90°。∴∠CPD=∠CNB。
∵DC∥AB,∴∠DCN=∠CNB=∠CPD。
∵在△DCP和△CBN中,∠DCP=∠CBN,∠CPD=∠BNC,DC=BC,
∴△DCP≌△CBN(AAS)。∴CP=BN。
②∵在△OBN和△OCP中,OB=OC,∠OCP=∠OBN, CP="BN" ,
∴△OBN≌△OCP(SAS)。∴ON=OP,∠BON=∠COP。
∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP,即∠NOP=∠BOC=90°。
∴ON⊥OP。
(2)∵AB=4,四边形ABCD是正方形,∴O到BC边的距离是2。
图1中,
图2中,
∴以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是:


正方形的性质,三角形外角性质,全等三角形的判定和性质,两线垂直的判定,多边形的面积的分解,函数解析式的确定,分段函数,点到直线的距离。
【分析】(1)对于图1,证明线段相等,一般情况下找全等。根据BN,CP的分布情况 可以观察△CNB和△DPC,然后证明两三角形全等。也可以观察△CAN和△DBP,证明AN=BP,从而有BN=CP。
对于图2,证明如下:
①∵ABCD为正方形,AC,BD为对角线,∴∠DCP=90º。
∵CM⊥DP, ∴∠PCM=∠PDC。∴∠PDB=∠CAN。
又∵∠DPB=∠ANC,BD=AC,∴△PDB≌△NCA(ASA)。
∴PB=AN,DP=CN。∴CP=BN。
②∵∠PDB=∠CAN,OD=OC, CP=BN,∴△PDO≌△NCO(SAS)。
∴OP=ON,∠DOP=∠CON。
∵∠DOC=90º,∴∠PON=∠NOC+POC=∠DOP+∠POC=∠DOC=90º。∴OP⊥ON。
(2)求以O、P、B、N为顶点的四边形的面积,则要把四边形分解为两个三角形去解决问题。图1中,S 四边形OPBN =S OBN +S BOP ,,;图2中,S 四边形OBNP =S POB +S PBN ,代入求出即可。

1年前

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